Giải hệ phương trình bậc nhất một ẩn là một dạng toán khó thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

A. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là: left{ {begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}x + {b_1}y = {c_1}} \ {{a_2}x + {b_2}y = {c_2}} end{array}} right. (I)

Trong đó x. y là hai ẩn, các chữ số còn lại là hệ số.

Nếu cặp số (x0;y0) đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ thì (x0;y0) được gọi là nghiệm của hệ phương trình (I)

Giải hệ phương trình (I) ta tìm được tập nghiệm của nó.

B. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Biến đổi hệ phương trình đã cho thành hệ phương trình tương đương

Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Bước 1: Chọn ẩn muốn khử, thường là x (hoặc y)

Bước 2: Xét xem hệ số của ẩn muốn khử.

– Khi các hệ số của cùng một ẩn đối nhau thì ra cộng vế theo vế của hệ.

– Khi các hệ số của cùng một ẩn số bằng nhau thì ta trừ vế theo vế của hệ.

– Nếu các hệ số đó không bằng nhau thì ta nhân cả hai vế của phương trình với số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của x (hoặc y) trong hai phương trình của hệ là bằng nhau hoặc đối nhau (đồng nhất hệ số).

Bước 3: Cộng hoặc trừ từng vế hai phương trình của hệ đã cho để được một phương trình mới (phương trình một ẩn)

Bước 4: Dùng phương trình một ẩn thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia)

Bước 5: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

Hướng dẫn giải

Nhân cả hai vế của phương trình x + 4y = 6 với 2 ta được 2x + 8y = 12

Hệ phương trình trở thành

Lấy hai vế phương trình thứ hai trừ hai vế phương trình thứ nhất ta được

2x + 8y – (2x – 3y) = 12 – 1

=>2x + 8y – 2x + 3y = 11

=>11y = 11

=> y = 1

Thay y = 1 vào phương trình x + 4y = 6 ta được

x + 4 = 6

=> x = 6 – 4

=> x = 2

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (2; 1)

* Ta có thể trình bày như sau:

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (2; 1)

Hướng dẫn giải

Ta có:

Nghiệm của phương trình là (x; y) = (m; n) = (2; 1)

S = m2 + n2 = 22 + 12 = 5

Vậy S = 5

C. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Biến đổi hệ phương trình đã cho thành hệ phương trình tương đương

Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia.

Bước 2: Thế ẩn đã biến đổi vào phương trình còn lại để được phương trình mới (Phương trình bậc nhất một ẩn)

Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa tìm được.

Bước 4: Thay giá trị vừa tìm được của ẩn vào biểu thức tìm được trong bước thứ nhất để tìm giá trị của ẩn còn lại.

Hướng dẫn giải

Hệ phương trình

Rút x từ phương trinh trình thứ nhất ta được x = 3 – y

Thay x = 3 – y vào phương trình thứ hai ta được:

(3 – y)y – 2(3 – y) = -2

=> 3y – y2 – 6 + 2y = -2

=> y2 – 5y + 4 = 0

Do 1 – 5 + 4 = 0 => y = 1 hoặc y = 4

+) Với y = 4 => x = 3 – 4 = -1

+) Với y = 1 => x = 3 – 1 = 2

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (-1; 4) = (2; 1)

* Ta có thể trình bày bài như sau:

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (-1; 4) = (2; 1)

Hướng dẫn giải

a) Với m = 2 thay vào hệ phương trình ta có:

b) Từ phương trình (1) ta có: x = 2y + 5

Thay x = 2y + 5 vào phương trình (2) ta được:

m(2y + 5) – y = 4

<=> 2my + 5m – y =4

<=> (2m – 1).y = 4- 5m (3)

<=>

Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (3) có nghiệm duy nhất

=> 2m – 1 ≠ 0 => m ≠ 1/2

Ta có:

Để x, y trái dấu <=> xy < 0

<=>

<=> 4 – 5m < 0 <=> m > 4/5

Vậy m > 4/5 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) trong đó x, y trái dấu.

c) Ta có: (4)

từ (4) suy ra 2m – 1 > 0 => m > 1/2

Với điều kiện m > 1/2 ta có:

(4) => |4 – 5m | = 3

=>

Vậy m = 7/5 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn x = |y|

Hướng dẫn giải

a) Cách 1: Từ phương trình (2) ta có: y = 3m – 1 – 3x

Thay vào phương trình (1) ta được:

x + m(3m – 1 – mx) = m + 1

=> (m2 – 1)x = 3m2 – 2m – 1 (3)

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm duy nhất tức là

m2 – 1 ≠ 0 => m ≠ ± 1

Cách 2: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi

<=>

b) Từ phương trình (2) ta có: y = 3m – 1 – mx.

Thay vào phương trình (1) ta được:

x + m(3m – 1 – mx) = m + 1

<=> x + 3m2 – m – m2x = m + 1

<=> (m2 – 1)x = 3m2 – 2m – 1 (3)

Trường hợp 1: m ≠ ± 1 khi đó hệ có nghiệm duy nhất

Trường hợp 2: m = 1 khi đó phương trình (3) trở thành: 0.x = 0

Vậy hệ có vô số nghiệm với mọi x thuộc R

Trường hợp 3: Với m = -1 khi đó phương trình (3) trở thành: 0.x = 4

=> Hệ phương trình vô nghiệm

D. Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định của phương trình:

Đặt

Hệ phương trình trở thành:

Cách 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:

Vậy phương trình có nghiệm

Cách 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:

Ta thay u, v vào hệ phương trình ban đầu ta được:

Vậy hệ phương trình có nghiệm

E. Giải hệ phương trình bằng máy tính cầm tay

Bước 1: Nhấn MODE, chọn mục EQN chọn số tương ứng với mục: anX + bnY = cn

Bước 2: Nếu hệ phương trình theo đúng thứ tự:

Bước 3: Ta nhập số liệu tương ứng:

Hàng thứ nhất: a1 = ; b1 = ; c1 =

Hàng thứ hai: a2 = ; b2 = ; c2 =

Bước 4: Nhấn =; = ta sẽ có kết quả nghiệm của hệ phương trình.

F. Giải hệ phương trình bằng định thức

Hệ phương trình: left{ {begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}x + {b_1}y = {c_1}} \ {{a_2}x + {b_2}y = {c_2}} end{array}} right.

Định thức

Xét định thức

Kết quả

Hệ có nghiệm duy nhất

D = 0

Hệ vô nghiệm

Hệ vô số nghiệm

G. Giải hệ phương trình đối xứng

1. Hệ phương trình đối xứng loại 1

a) Định nghĩa: Một hệ phương trình ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại 1 nếu mỗi phương trình ta đổi vai trò của x, y cho nhau thì phương trình đó không đổi.

b) Tính chất: Nếu là một nghiệm của hệ phương trình thì cũng là nghiệm của phương trình.

c) Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1

Đặt ta quy hệ phương trình vế 2 ẩn S, P

Chú ý: Trong một số hệ phương trình đôi khi tính đối xứng chỉ thể hiện trong một phương trình. Ta cần dựa vào phương trình đó để tìm quan hệ S, P từ đó suy ra quan hệ x, y.

Hướng dẫn giải

Đặt hệ phương trình đã cho trở thành

=> x, y là hai nghiệm của phương trình

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm (x; y) = (0; 2) = (2; 0)

Hướng dẫn giải

Điều kiện

Đặt hệ phương trình đã cho trở thành:

(tmđk)

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (3; 3)

Hướng dẫn giải

Đặt hệ đã cho trở thành

Đặt hệ phương trình đã cho trở thành:

Suy ra a, b là hai nghiệm của phương trình

Vậy hệ phương trình đã cho có hai cặp nghiệm (x; y) = (8; 64) = (64; 8)

Để hiểu hơn về cách giải hệ đối xứng loại 1, mời bạn đọc tham khảo tài liệu:

Các phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 1

2. Hệ phương trình đối xứng loại 2

a) Định nghĩa: Một hệ phương trình ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại 2 nếu mỗi phương trình ta đổi vai trò của x, y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia.

b) Tính chất: Nếu là một nghiệm của hệ phương trình thì cũng là nghiệm của phương trình.

c) Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2

Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta được một phương trình có dạng

Hướng dẫn giải

Điều kiện

Ta kiểm tra được không là nghiệm của hệ phương trình đã cho

Xét trường hợp . Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta được:

Khi x = y xét phương trình

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (0; 0)

Để hiểu hơn về cách giải hệ đối xứng loại 2, mời bạn đọc tham khảo tài liệu:

Các phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 2

H. Giải hệ phương trình đẳng cấp

Cách giải hệ phương trình đẳng cấp

Phương pháp chung để giải hệ phương trình đẳng cấp là: Từ các phương trình của hệ ta nhân hoặc chia cho nhau để tạo ra phương trình đẳng cấp bậc n

Từ đó ta xét hai trường hợp:

y = 0 thay vào để tìm x

y khác 0 ta đặt x = ty thì thu được phương trình

Giải phương trình tìm t sau đó thế vào hệ ban đầu để tìm x, y.

Hướng dẫn giải

Điều kiện:

Từ phương trình thứ nhất ta có:

xy = -x2 – x – 3

Thay vào phương trình thứ hai ta được:

Đây là phương trình đẳng cấp đối với

Đặt phương trình trở thành

Với t = 1 ta có y = x2 + 2 thay vào phương trình thứ nhất của hệ phương trình ta thu được x = -1 => y = 3

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (1; -3)

Để hiểu hơn về cách giải hệ đẳng cấp, mời bạn đọc tham khảo tài liệu:

Các phương pháp giải hệ phương trình đẳng cấp

Tài liệu liên quan:

  • Trục căn thức ở mẫu Toán 9
  • Rút gọn biểu thức chứa căn Toán 9
  • Tìm x để biểu thức đạt giá trị nguyên

Hy vọng tài liệu Cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Toán 9 sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc các cách biến đổi hệ phương trình đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo!

Ngoài ra mời quý thầy cô và học sinh tham khảo thêm một số nội dung:

  • Luyện tập Toán 9
  • Giải bài tập SGK Toán 9
  • Đề thi giữa học kì môn Toán 9

Câu hỏi mở rộng củng cố kiến thức:

  • Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) và tia phân giác của góc A cắt đường tròn tại M. Vẽ đường cao AH
  • Từ điểm M ở bên ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB của (O) (với A, B là các tiếp điểm) và cát tuyến MDE không qua tâm O (D, E thuộc (O), D nằm giữa M và E).
  • Một xe máy đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự tính trước. Sau khi đi được nửa quãng đường, xe máy tăng thêm 10km/h vì vậy xe máy đến B sớm hơn 30 phút so với dự định. Tính vận tốc dự định của xe máy, biết quãng đường AB dài 120km.
  • Tìm hai số tự nhiên biết rằng tổng của chúng bằng 1006 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 2 và số dư là 124
  • Một ôtô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với quy định. Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì sẽ đến B sớm 1 giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất phát của oto tại A.
  • Giải bài toán cổ sau Quýt, cam mười bảy quả tươi Đem chia cho một trăm người cùng vui
  • Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng chuyển động
  • Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280m. Người ta làm 1 lối đi xung quanh vườn ( thuộc đất của vườn) rộng 2m. Diện tích còn lại để trồng trọt là 4256m2 . Tìm diện tích vườn lúc đầu.
  • Hai ô tô đi ngược chiều từ A đến B, xuất phát không cùng lúc
  • Cho tam giác ABC vuông tại A. trên AC lấy một điểm M và vẽ đường tròn đường kính MC. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S. Chứng minh rằng:a. ABCD là một tứ giác nội tiếpb. c. CA là tia phân giác của góc SCB.
  • Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, C là một điểm nằm giữa O và A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn trên tại I, K là một điểm nằm bất kì trên đoạn thẳng CI (K khác C và I) tia AK cắt nửa đường tròn O tại M tia BM cắt tia CI tại D.Chứng minh:a) Các tứ giác ACMD, BCKM nội tiếp đường trònb) CK.CD = CA.CBc) Gọi N là giao điểm của AD và đường tròn O chứng minh B, K, N thẳng hàngd) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD nằm trên một đường thẳng cố định khi K di động trên đoạn thẳng CI